Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb{N}\) et à valeurs dans \(\mathbb{R}\). On la note généralement \((u_n)\) où \(n\) est l'indice de la suite.
Suite arithmétique : \(u_n = u_0 + nr\) (formule explicite)
Suite géométrique : \(u_n = u_0 \times q^n\) (formule explicite)
Une suite définie par récurrence est caractérisée par :
Une suite \((u_n)\) est définie par récurrence si elle est de la forme :
\[ \begin{cases} u_0 \text{ donné} \\ u_{n+1} = f(u_n) \text{ pour tout } n \in \mathbb{N} \end{cases} \]
où \(f\) est une fonction donnée.
\(u_{n+1} = u_n + r\) où \(r\) est la raison de la suite
\(u_{n+1} = q \times u_n\) où \(q\) est la raison de la suite
Une suite peut être :
Une suite converge si elle a une limite finie quand \(n\) tend vers l'infini.
Toute suite monotone et bornée converge.
Une suite arithmético-géométrique est définie par récurrence sous la forme :
\[u_{n+1} = au_n + b\]
où \(a\) et \(b\) sont des constantes réelles, avec \(a \neq 0\) et \(a \neq 1\).
Les suites récurrentes sont très utiles pour modéliser de nombreux phénomènes :