Exercices sur les Suites et Récurrence

Solution :

• \(u_0 = 3\)
• \(u_1 = 2u_0 - 1 = 2(3) - 1 = 5\)
• \(u_2 = 2u_1 - 1 = 2(5) - 1 = 9\)
• \(u_3 = 2u_2 - 1 = 2(9) - 1 = 17\)
• \(u_4 = 2u_3 - 1 = 2(17) - 1 = 33\)

Les 5 premiers termes sont donc : 3, 5, 9, 17, 33

Solution :

a) \(u_n = \frac{n^2 + 1}{n} = \frac{n^2}{n} + \frac{1}{n} = n + \frac{1}{n}\)

b) Étude de la monotonie :

Calculons \(u_{n+1} - u_n\) :

\(u_{n+1} - u_n = (n+1 + \frac{1}{n+1}) - (n + \frac{1}{n})\)

\(= 1 + \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n} = 1 + \frac{n - (n+1)}{n(n+1)} = 1 - \frac{1}{n(n+1)}\)

Comme \(n \geq 1\), on a \(1 - \frac{1}{n(n+1)} > 0\)

Donc \(u_{n+1} - u_n > 0\) pour tout \(n \geq 1\)

La suite est donc strictement croissante.

Solution :

a) Par récurrence :

• \(u_0 = 1 > 0\)
• Supposons \(u_n > 0\). Alors \(u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} > 0\)

Donc pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n > 0\).

b) Montrons que \(u_n \geq \sqrt{2}\) par récurrence :

• \(u_0 = 1 < \sqrt{2}\), mais \(u_1 = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} > \sqrt{2}\)
• Supposons \(u_n \geq \sqrt{2}\). Alors : \[u_{n+1} = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} \geq \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}\] (car \(x \mapsto \frac{x}{2} + \frac{1}{x}\) atteint son minimum en \(x = \sqrt{2}\))

Donc pour tout \(n \geq 1\), \(u_n \geq \sqrt{2}\).

c) Montrons que la suite est décroissante pour \(n \geq 1\) :

\(u_{n+1} - u_n = \frac{u_n}{2} + \frac{1}{u_n} - u_n = \frac{1-u_n^2}{2u_n}\)

Or, pour \(n \geq 1\), \(u_n \geq \sqrt{2}\), donc \(u_n^2 \geq 2\) et \(1-u_n^2 \leq -1\)

Donc \(u_{n+1} - u_n \leq 0\) pour \(n \geq 1\)

La suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\), elle est donc convergente.