Bienvenue dans la section des problèmes concrets utilisant les fonctions. Ici, vous apprendrez à appliquer vos connaissances sur les fonctions à des situations de la vie réelle.
Problème 1 : Le coût d'un taxi
Une compagnie de taxi facture ses courses de la manière suivante :
Un forfait de base de 5€
2€ par kilomètre parcouru
On peut modéliser le coût de la course en fonction de la distance parcourue par la fonction f(x) = 2x + 5, où x représente la distance en kilomètres.
Utilisez cette fonction pour calculer le coût d'une course :
Problème 2 : La température de l'eau
Un scientifique étudie le refroidissement de l'eau chaude dans un verre. Il modélise la température T (en °C) de l'eau en fonction du temps t (en minutes) par la fonction :
T(t) = 20 + 80 * e-0.1t
Où 20°C est la température ambiante de la pièce.
Questions :
Quelle est la température initiale de l'eau (à t = 0) ?
Après combien de temps la température de l'eau sera-t-elle de 50°C ?
Solution :
Pour t = 0, T(0) = 20 + 80 * e0 = 20 + 80 = 100°C. La température initiale est donc de 100°C.
On cherche t tel que T(t) = 50°C. On résout l'équation :
50 = 20 + 80 * e-0.1t 30 = 80 * e-0.1t 0.375 = e-0.1t ln(0.375) = -0.1t
t ≈ 9.8 minutes
La température de l'eau sera de 50°C après environ 9.8 minutes.
Problème 3 : Le lancer d'une balle
Un joueur de basketball lance une balle. La hauteur h (en mètres) de la balle en fonction du temps t (en secondes) est donnée par la fonction :
h(t) = -4.9t² + 7t + 2
Questions :
À quelle hauteur la balle est-elle lancée ?
Quelle est la hauteur maximale atteinte par la balle ?
Après combien de temps la balle touche-t-elle le sol ?
Solution :
La hauteur initiale est h(0) = -4.9*0² + 7*0 + 2 = 2 mètres.
Pour trouver la hauteur maximale, on calcule le sommet de la parabole :
t_max = -b / (2a) = -7 / (2*(-4.9)) ≈ 0.71 secondes
h_max = h(0.71) ≈ 4.5 mètres
La balle touche le sol quand h(t) = 0. On résout l'équation :
-4.9t² + 7t + 2 = 0
Utilisons la formule quadratique : t ≈ 1.53 secondes
La balle touche le sol après environ 1.53 secondes.