Définition d'un Espace Vectoriel
Un espace vectoriel est une structure algébrique composée d'un ensemble de vecteurs et de scalaires, avec deux opérations : l'addition vectorielle et la multiplication scalaire.
Ces opérations doivent satisfaire certains axiomes pour que l'ensemble soit considéré comme un espace vectoriel.
Propriétés des Espaces Vectoriels
Les espaces vectoriels possèdent plusieurs propriétés importantes :
- Fermeture sous l'addition et la multiplication scalaire
- Associativité et commutativité de l'addition
- Existence d'un élément neutre pour l'addition
- Existence d'un inverse additif pour chaque vecteur
- Distributivité de la multiplication scalaire sur l'addition vectorielle
Démo Interactive : Addition de Vecteurs
Entrez les composantes de deux vecteurs 2D et observez leur somme :
Exemples d'Espaces Vectoriels
Voici quelques exemples courants d'espaces vectoriels :
- L'espace euclidien ℝ² (plan) et ℝ³ (espace tridimensionnel)
- L'ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n
- L'espace des fonctions continues sur un intervalle
- L'espace des matrices m × n
Sous-espaces Vectoriels
Un sous-espace vectoriel est un sous-ensemble d'un espace vectoriel qui est lui-même un espace vectoriel avec les mêmes opérations.
W ⊆ V est un sous-espace si ∀u,v ∈ W et ∀α ∈ ℝ : αu + v ∈ W
Applications et Importance
Les espaces vectoriels sont fondamentaux dans de nombreux domaines :
- Physique : description des forces, des champs électromagnétiques
- Informatique : graphiques 3D, compression d'images
- Statistiques : analyse en composantes principales
- Ingénierie : analyse structurelle, contrôle de systèmes