Valeurs Propres et Vecteurs Propres

Définition

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont des concepts fondamentaux en algèbre linéaire. Pour une matrice carrée A, un scalaire λ est une valeur propre de A s'il existe un vecteur non nul v tel que :

Dans ce cas, v est appelé vecteur propre associé à la valeur propre λ.

Importance

Les valeurs propres et les vecteurs propres sont essentiels dans de nombreux domaines, notamment :

• La physique quantique
• La théorie des vibrations
• L'analyse en composantes principales (ACP)
• Les moteurs de recherche (comme l'algorithme PageRank de Google)

Calcul des valeurs propres

Pour trouver les valeurs propres d'une matrice A, on résout l'équation caractéristique :

où I est la matrice identité de même dimension que A.

Vecteurs propres

Une fois les valeurs propres trouvées, on peut calculer les vecteurs propres associés en résolvant l'équation :

Applications

Les valeurs propres et vecteurs propres sont utilisés pour :

• Diagonaliser des matrices
• Résoudre des systèmes d'équations différentielles
• Analyser la stabilité des systèmes dynamiques
• Compresser des données (par exemple, en traitement d'image)

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