Introduction à la géométrie dans l'espace
La géométrie dans l'espace est une extension de la géométrie plane à trois dimensions. Elle nous permet d'étudier les propriétés des objets en 3D, tels que les plans, les droites, les sphères et les polyèdres.
1. Vecteurs de l'espace
Dans l'espace, un vecteur est défini par trois composantes (x, y, z). Les opérations sur les vecteurs (addition, soustraction, multiplication par un scalaire) s'étendent naturellement à la troisième dimension.
Théorème : Produit scalaire dans l'espace
Pour deux vecteurs \(\vec{u} = (x_1, y_1, z_1)\) et \(\vec{v} = (x_2, y_2, z_2)\), le produit scalaire est défini par :
\[\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2\]
2. Équations de plans et de droites
Les plans et les droites sont des objets fondamentaux en géométrie 3D.
- Équation cartésienne d'un plan : \(ax + by + cz + d = 0\)
- Équations paramétriques d'une droite : \(x = x_0 + at, y = y_0 + bt, z = z_0 + ct\)
3. Positions relatives
En géométrie 3D, nous étudions les positions relatives entre :
- Deux plans (sécants, parallèles, confondus)
- Une droite et un plan (sécants, parallèles, droite incluse dans le plan)
- Deux droites (sécantes, parallèles, non coplanaires)
Exemple : Intersection de deux plans
Soient les plans P1: 2x + y - z = 1 et P2: x - y + z = 2
Pour trouver leur intersection, nous résolvons le système d'équations :
\[ \begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + z = 2 \end{cases} \]
La solution de ce système nous donne une droite, qui est l'intersection des deux plans.
4. Visualisation 3D
Voici une représentation interactive d'un cube dans l'espace :