Introduction aux Limites de Fonctions
Le concept de limite est fondamental en analyse mathématique. Il nous permet d'étudier le comportement d'une fonction lorsque la variable s'approche d'une valeur donnée ou tend vers l'infini.
Définition Intuitive
On dit que la fonction \(f(x)\) tend vers la limite \(L\) lorsque \(x\) tend vers \(a\) si les valeurs de \(f(x)\) se rapprochent autant que l'on veut de \(L\) lorsque \(x\) est suffisamment proche de \(a\) (sans nécessairement être égal à \(a\)).
Types de Limites
| Type | Notation | Description |
|---|---|---|
| Limite finie en un point | \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) | La fonction s'approche d'une valeur finie \(L\) quand \(x\) s'approche de \(a\) |
| Limite infinie en un point | \(\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\) | La fonction croît ou décroît sans borne quand \(x\) s'approche de \(a\) |
| Limite à l'infini | \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L\) | La fonction s'approche d'une valeur finie \(L\) quand \(x\) devient arbitrairement grand (positif ou négatif) |
| Limite infinie à l'infini | \(\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty\) | La fonction croît ou décroît sans borne quand \(x\) devient arbitrairement grand |
Limites Usuelles
Exemples de limites usuelles :
- \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0\)
- \(\lim_{x \to 0} \sin(x)/x = 1\)
- \(\lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{1}{x})^x = e\)
Théorèmes sur les Limites
Théorème : Limites et opérations
Si \(\lim_{x \to a} f(x) = L\) et \(\lim_{x \to a} g(x) = M\), alors :
- \(\lim_{x \to a} [f(x) + g(x)] = L + M\)
- \(\lim_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M\)
- \(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{L}{M}\) (si \(M \neq 0\))
Visualisation Graphique
Voici une représentation graphique de trois fonctions avec différents comportements de limite :
Note : La limite d'une fonction en un point n'est pas nécessairement égale à la valeur de la fonction en ce point. De plus, une fonction peut avoir une limite même si elle n'est pas définie au point considéré.
Exercices
Pour vous entraîner sur les limites de fonctions, essayez ces exercices :
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