Introduction
Les nombres complexes permettent de résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des nombres réels. Cette leçon explore la résolution d'équations dans l'ensemble des nombres complexes C.
1. Équations du second degré
Considérons l'équation générale du second degré : ax² + bx + c = 0, où a, b, et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
Le discriminant Δ = b² - 4ac détermine la nature des solutions :
- Si Δ > 0, l'équation a deux solutions réelles distinctes.
- Si Δ = 0, l'équation a une solution réelle double.
- Si Δ < 0, l'équation a deux solutions complexes conjuguées.
Exemple
Résolvons l'équation x² + 1 = 0
Ici, a = 1, b = 0, c = 1
Δ = 0² - 4(1)(1) = -4 < 0
Les solutions sont : x = ±i
2. Équations binômes
Une équation binôme est de la forme z^n = a, où n est un entier naturel non nul et a un nombre complexe.
Les solutions sont données par la formule :
Exemple
Résolvons l'équation z³ = -8
Les solutions sont :
z_0 = 2(cos(π/3) + i*sin(π/3))
z_1 = 2(cos(π) + i*sin(π)) = -2
z_2 = 2(cos(5π/3) + i*sin(5π/3))
3. Équations avec conjugués
Pour une équation impliquant des conjugués complexes, comme z + z̄ = a, on peut utiliser la forme algébrique z = x + yi et résoudre le système d'équations résultant.
Exemple
Résolvons l'équation z + z̄ = 4
En posant z = x + yi, on obtient :
(x + yi) + (x - yi) = 4
2x = 4
x = 2 et y est libre
Les solutions sont de la forme z = 2 + yi, y ∈ ℝ
Conclusion
La résolution d'équations dans C ouvre de nouvelles possibilités mathématiques. Elle permet de trouver des solutions à des équations qui semblaient insolubles dans l'ensemble des nombres réels.
Pratiquer avec des exercices