1. Introduction
Les nombres complexes offrent une approche puissante pour résoudre des problèmes de géométrie plane. Cette leçon explore comment utiliser les propriétés des nombres complexes pour simplifier et résoudre divers problèmes géométriques.
2. Représentation des points et des vecteurs
Dans le plan complexe, chaque point peut être représenté par un nombre complexe unique :
- Le point A(x, y) est représenté par le nombre complexe z = x + iy
- Un vecteur ⃗AB est représenté par la différence des affixes : z_B - z_A
3. Calcul de distances
La distance entre deux points A et B peut être calculée à l'aide du module de la différence de leurs affixes :
d(A,B) = |z_B - z_A|
Exemple
Soient A(1, 2) et B(4, 6). Calculons la distance AB :
z_A = 1 + 2i, z_B = 4 + 6i
z_B - z_A = (4 + 6i) - (1 + 2i) = 3 + 4i
d(A,B) = |3 + 4i| = √(3² + 4²) = 5
4. Alignement de points
Trois points A, B et C sont alignés si et seulement si leurs affixes z_A, z_B et z_C vérifient :
(z_B - z_A) = k(z_C - z_A), où k est un nombre réel
5. Milieu d'un segment
L'affixe du milieu M du segment [AB] est donnée par :
z_M = (z_A + z_B) / 2
6. Barycentre
L'affixe du barycentre G de points pondérés (A_i, α_i) est donnée par :
z_G = (Σ α_i z_A_i) / (Σ α_i)
7. Angles et rotations
L'argument d'un nombre complexe peut être utilisé pour calculer des angles. La multiplication par un nombre complexe de module 1 correspond à une rotation.
Exemple
Pour effectuer une rotation de 90° dans le sens antihoraire autour de l'origine, multipliez par i :
z' = i * z
8. Résolution de problèmes géométriques
Les nombres complexes peuvent être utilisés pour résoudre divers problèmes géométriques, tels que :
- Trouver les coordonnées d'un point après une transformation
- Vérifier la perpendicularité ou le parallélisme de droites
- Calculer des aires de polygones
- Déterminer les équations de cercles et de droites
Note importante
L'utilisation des nombres complexes en géométrie permet souvent de simplifier les calculs et d'obtenir des solutions élégantes. Cependant, il est important de savoir interpréter les résultats en termes géométriques.
9. Conclusion
Les applications géométriques des nombres complexes constituent un outil puissant pour aborder de nombreux problèmes de géométrie plane. Maîtriser ces techniques vous permettra de résoudre efficacement des problèmes complexes et d'avoir une nouvelle perspective sur la géométrie.