Introduction à la Loi Normale
La loi normale, aussi connue sous le nom de distribution gaussienne, est l'une des distributions de probabilité les plus importantes en statistiques et en théorie des probabilités. Elle est largement utilisée pour modéliser des phénomènes naturels et sociaux.
Définition : Loi Normale
Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres μ (espérance) et σ (écart-type) si sa fonction de densité est donnée par :
f(x) = (1 / (σ√(2π))) * e^(-(x-μ)² / (2σ²))
On note alors X ~ N(μ, σ²).
Propriétés de la Loi Normale
- Symétrie : La courbe est symétrique par rapport à la moyenne μ.
- Forme en cloche : La courbe a une forme caractéristique de cloche.
- Asymptotes : La courbe s'approche de l'axe des abscisses sans jamais le toucher.
- Règle empirique (68-95-99.7) :
- 68% des valeurs sont comprises dans l'intervalle [μ-σ, μ+σ]
- 95% des valeurs sont comprises dans l'intervalle [μ-2σ, μ+2σ]
- 99.7% des valeurs sont comprises dans l'intervalle [μ-3σ, μ+3σ]
Concept clé : Loi Normale Centrée Réduite
La loi normale centrée réduite est une loi normale de moyenne μ = 0 et d'écart-type σ = 1. On la note N(0,1).
Toute loi normale X ~ N(μ, σ²) peut être ramenée à une loi normale centrée réduite Z par la transformation :
Z = (X - μ) / σ
Exemple : Tailles dans une Population
Supposons que la taille des adultes dans une population suive une loi normale de moyenne μ = 170 cm et d'écart-type σ = 10 cm.
• Environ 68% des adultes ont une taille entre 160 cm et 180 cm.
• Environ 95% des adultes ont une taille entre 150 cm et 190 cm.
• Environ 99.7% des adultes ont une taille entre 140 cm et 200 cm.