Introduction aux Variables Aléatoires
Les variables aléatoires sont un concept fondamental en probabilités et statistiques. Elles nous permettent de modéliser mathématiquement des phénomènes aléatoires et de quantifier l'incertitude.
Définition : Variable Aléatoire
Une variable aléatoire est une fonction qui associe à chaque résultat possible d'une expérience aléatoire une valeur numérique.
Types de Variables Aléatoires
- Variables Aléatoires Discrètes : Prennent un nombre fini ou dénombrable de valeurs.
- Variables Aléatoires Continues : Peuvent prendre n'importe quelle valeur dans un intervalle donné.
Concept clé : Fonction de Répartition
La fonction de répartition F(x) d'une variable aléatoire X est définie par :
F(x) = P(X ≤ x)
Elle donne la probabilité que la variable aléatoire soit inférieure ou égale à une valeur donnée.
Caractéristiques des Variables Aléatoires
- Espérance Mathématique (E[X]) : La valeur moyenne attendue de la variable aléatoire.
- Variance (Var(X)) : Mesure de la dispersion autour de l'espérance.
- Écart-type (σ) : Racine carrée de la variance, exprimée dans la même unité que la variable.
Exemple : Lancer de Dé
Considérons le lancer d'un dé équilibré à six faces. La variable aléatoire X représente le nombre obtenu.
• X est une variable aléatoire discrète prenant les valeurs 1, 2, 3, 4, 5, 6.
• P(X = k) = 1/6 pour k = 1, 2, 3, 4, 5, 6
• E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3.5
• Var(X) = E[X²] - (E[X])² ≈ 2.92